Максим народився 13 жовтня 1998 року в Запоріжжі. Закінчив місцеву гімназію №47 і Запорізький металургійний фаховий коледж. Потім навчався в Запорізькому національному університеті. Отримав диплом магістра в галузі механічної інженерії. Працював на металургійному комбінаті «Запоріжсталь» майстром-механіком з ремонту металургійного обладнання. У вільний час любив читати, спілкуватися з друзями й подорожувати.
Під час повномасштабного вторгнення Максим боронив Україну в лавах 12-ї бригади спеціального призначення «Азов». Обіймав посаду номера обслуги 1-ї обслуги гармати 2-го гаубичного самохідного артилерійського взводу 2-ї гаубичної самохідної артилерійської батареї гаубичного самохідного артилерійського дивізіону бригадної артилерійської групи.
«Дякую, синку, за твою відвагу, за те, що захищав нас! Твою посмішку пам’ятатиму завжди, навіки ти в моєму серці. Ти був для усіх рідних, близьких і друзів теплим вогником, що зігріває душу. Любимо і пам'ятаємо!» – написала мама захисника Тетяна Кульчицька.
Поховали Максима Кульчицького на Павло-Кічкаському кладовищі в Запоріжжі.
У нього залишилися дружина, батьки та брати.
